Page 900 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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0 时 . (我们需要使用 x → 0 , 因为仅仅当 x ≥ 0 时,
才有意义.) 两边同时取倒数, 可得

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当 x → 0 时, .

请注意在区间 (0, 1] 上, 和 没有破裂点. 所以极限比

较判别法告诉我们, 积分

和 .

同时收敛或同时发散. 我们用一个简单的积分 替代了一

个较难的积分. 从 20.1.1 节中, 我们已经知道这个简单的积分是收敛

的, 所以立刻知道要计算的积分 (左边那个) 也是收敛的.

当然有些判别法也适用于破裂点在 b 点或积分区间是无界的情况. 我

们将在 21.2 节列举所有的情况. 现在, 让我们看看为什么这个判别法

适用于上述例子. 因为当 x → a 时 f (x) ~ g(x), 所以我们知道

特别地, 假设足够趋于 a, 那么比值 f (x)/g(x) 至少是 1/2 且不比 2

大. 也就是说, 我们能在 a 和 b 的区间内选一个数 c, 满足