Page 902 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

20.5 p 判别法 (理论)

我们有了比较判别法和极限比较判别法, 需要知道怎样去使用它们. 我

们的基本策略是 (下一章将细致讲解)：选择一个能与函数 f 相比较的

函数 g. 我们希望函数 g 足够简单到可以判断它是收敛的还是发散的.

p
问题是, 我们能选择什么样的 g 函数？最常用的函数是 1/x , 其中 p

2
> 0. 我们已经看到一些关于 1/x、 和 1/x 的积分, 它们分别对

应于 p = 1、 和 2. 因为这些函数很容易求得积分, 所以可以使用极

限公式得到 p 判别法.

∞
p 判别法, ∫ 的情况：对于任何有限值 a > 0, 积分

在 p > 1 时是收敛的, 在 p ≤ 1 时是发散的.

p 判别法, ∫ 的情况：对于任何有限值 a >0, 积分
0

在 p <1 时是收敛的, 在 p ≥ 1 时是发散的.

注意, 这两种情况是相反的, 只是 p =1 除外. 其中的积分