Page 905 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

注意, 因为 1.000 000 1 > 1, 所以积分

收敛, 尽管 是发散的! 仅仅把 x 的幂从 1 变为 1.000 000

1, 这个微小的变化足够引起质变了. 这展示出了收敛和发散的精妙之

处.

现在我们证明 p 判别法. 幸运的是, 这仅仅需要使用 20.1 节的

公式. 首先, 考虑积分

其中常数 a > 0. 如果 p =1, 该积分变为 1/x, 我们已经知道, 这个积

分在这种情况下是发散的. 另外我们有

现在如果极限

存在, 那么整个积分 是收敛的. 如果这个极限不存在, 那么该

积分是发散的. 所以, 将上述极限重写为