Page 907 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

20.6 绝对收敛判别法

比较判别法的一个假设是函数 f 和 g 都是非负的. 但如果你想判断一

个负函数的走势, 该怎么办呢？如果这个函数一直为负, 则可把负号提

出来后把它归为正函数的情况. 在下一章中, 我们将会看到例子. 另一

方面, 如果这个函数在积分区间不停地在正负之间振荡, 则可以应用绝

对收敛判别法. 陈述如下：

这对于无限区间上的积分也是适用的 (例如 [a, ∞) 而不是 [a,

b]). 注意：如果原始积分的绝对值是发散的, 那么这个原始积分可能

还是收敛的! 这样的例子很酷, 但超过了本书的范围. 我们在 23.7 节

讨论正交级数时将看到一些相似情况.

为什么上述方法是有用的？首先, |f(x)| 总是非负的, 所以可以使

用反常积分的比较判别法. 例如, 考虑反常积分

当 x 越来越大时, 被积函数 在正负之间振荡, 所以不能使用比较

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判别法 或极限比较判别法. 让我们先试着使用绝对收敛判别法.