Page 909 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

还有一个例子：

这个被积函数 cos(x) 在正负之间振荡, 所以应该先研究它的绝对值情

况：

遗憾的是, 这个新的积分不可能是收敛的. 想要知道为什么吗？画

一个 y = |cos(x)| 的图像, 你会看到大量相似的小山丘, 一个接一个.

要把这些无限个小山丘加到一起得到有限的值是不可能的. 所以这个

绝对值型的积分是发散的. 这说明我们不能使用绝对收敛判别法! 只有

当该积分的绝对值情况是收敛的, 才能使用这个方法.

我们需要重新来过. 我们不知道最原始的积分是收敛还是发散的. 所

以, 我们使用瑕点在 ∞ 的反常积分的定义：

最后一个极限并不存在, 因为 sin(N ) 在 -1 到 1 之间反复振荡, 即使

N 一直无限变大也如此. 所以, 原始积分 发散的原因是振荡太

多, 而不是因为它趋于 ∞ 或 -∞.