Page 910 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

振荡的积分处理起来很复杂. 如果你足够幸运, 可以像上面一样使用标

准定义. 大多数情况下, 这根本不起作用. 很多数学家花费了大量的时

间想弄明白这一点. 此刻, 只要将上例记在心间就可以了, 我们在下一

章还有很多事情要处理, 届时会再次讨论判别法, 并着重解决反常积分

相关的问题.

在此之前, 我们简单看一下为什么绝对收敛判别法可以起作用. 假

设我们知道

收敛. 有一个很好的技巧：设对于 f 的 x 的定义区间 [a, b], 有

g(x) = |f(x)| + f (x). 那么 g 有两个重要特性：首先, g(x) ≥ 0; 其

次, g(x) ≤ 2|f(x)|. (两种情况下, 都假定 x 是 f 定义区间 [a, b] 中的

任意数.) 实际上, 稍考虑一下就可以知道, 每当 f (x) ≥ 0 都有 g(x)

= 2f (x), 而且每当 f (x) < 0 都有 g(x) = 0. 尝试证明, 从这点可得

到前面提到的 g 的两个重要特性.

无论如何, 我们现在可以对 g 使用比较判别法了：

结论是