Page 908 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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直接比较是不行的, 因为积分 并不随 N 变大而变大. 20.3 节结尾处的结
论不适用, 因为它需要在不达到 g(x) 的积分上限时 f (x) 的积分越来越大.

我们需要考虑积分

这可以重写为

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因为 x 不可能为负. 现在就能使用比较判别法了. 因为对于所有的 x,

|sin(x)| ≤ 1, 所以对于所有的 x, 有

比较判别法表明

因为根据 p 判别法, 不等式的右侧是收敛的, 所以左侧的积分也是收

敛的. 最后, 我们使用绝对收敛判别法得

收敛, 所以 也收敛.

这里有一点比较微妙, 真的需要使用绝对值.