Page 913 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

21.1 如何开始

给定一个反常积分 (我们总是假设 f 是连续的或者有有

限个不连续的点). 之所以称其为反常积分, 是因为被积函数 f 在区间

[a, b] 上至少有一个瑕点. 瑕点经常出现在 f 的破裂点, 如有垂直渐近

线的点处, 还出现在 ∞ 和 -∞ 处. 例如, 积分

在 ∞ 和 -∞ 处有瑕点 (只要包含它们, 就一定有瑕点), 同样 x = 1 和

x = -1 处也有瑕点 (因为被积函数在这些点未定义).

如 20.1.2 节所述, 每次只关注一个瑕点是合理的. 同样地, 我们倾向

于被积函数恒正, 至少 x 在瑕点附近时函数应该为正. 因此, 我们的第

一个任务是适当地拆分积分, 第二个任务是处理 f 存在负值的情况.

21.1.1 拆分积分

下面是基本的对策：

(1) 确定区间 [a, b] 上的所有瑕点; (2) 将积分拆分成若干积分之和,

使得每个积分至多有一个瑕点, 并使这些瑕点作为相应积分的上限或

下限;