Page 914 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

(3) 分别讨论每个积分, 如果某一积分发散, 则整个积分发散. 原反常

积分收敛的唯一情形是, 每个积分都收敛.

如何将一个积分正确拆分呢？如果只在 a 或 b 点有瑕点, 则什么

都不用做. 考虑如下的经典例子, 积分

收敛还是发散？被积函数在 x = 0 有垂直渐近线, ∞ 总是瑕点, 所以

我们有端点 0 和 ∞ 两个瑕点. 这是两个瑕点, 而我们每个积分只处理

一个瑕点, 所以可以在 0 和 ∞ 之间任选一个你喜欢的数字, 我选的是

5, 然后把积分拆分成两个：

和 .

这个例子将在 21.4.1 节完成. 现在, 注意这两个积分都只有一个瑕点,

并且瑕点在积分区间的左端点或右端点. 在哪个点对积分进行拆分是

没有关系的, 这在 20.1.1 节已经详细讨论过了. 你可以用 20.1.2 节

的例子进行验证, 那个反常积分需拆分成 5 个积分.