Page 915 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

至于上面的第 (3) 步, 本章余下部分会探讨如何处理只在一个端

点处有一个瑕点的积分. 为了让原积分收敛, 重要的是拆分后的每个积

分必须都收敛. 所以若将一个反常积分拆分成 5 个积分, 发现有一个

积分发散, 则不需要浪费时间考虑其他 4 个积分, 因为你已经知道整

个积分是发散的了.

有一个重要的情形：如果没有瑕点会怎样呢？也就是说, 假设有

积分 , 它的积分区间 [a, b] 是有界的 (故没有 ∞ 和 -∞), 并且

f 在闭区间 [a, b] 上有界, 则如 20.1 节所述, f 没有瑕点, 所以我们知

道积分 收敛. 总之, 如果没有瑕点, 则积分收敛!例如：

收敛, 因为被积函数在有界区间 [0, 100] 上有界, 也就是函数在该闭

区间上没有瑕点. 对于形如上例的积分, 不要被其蒙蔽而用相关的判别

法进行积分敛散性的判定.

21.1.2 如何处理负函数值

如果 f (x) 在区间 [a, b] 上的某些 x 处取负值, 你需要特别小心, 这经

常出现在三角函数或对数函数中. 幸运的是, 你能够将问题化简为只有

正被积函数的积分. 下面是处理负函数值的三种方法.