Page 920 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

要小心, 别做无用功. 在 20.3 节中讨论过, 若搞反了上述不等式的方向

就会做无用功. 若不等式的方向是反的, 就不能发挥比较判别法的作用.

极限比较判别法是比较判别法的替代形式. 使用该判别法的重点是, 能

找到一个和被积函数在瑕点附近敛散性一致的函数. 在 20.4.1 节中,

我们有如下的定义：

若将 x → a 换成 x → ∞(或 x → -∞), 上述定义仍成立. 在任何情况下,

如果被积函数 f 形式复杂, 而又能找到一个好的函数 g, 使得当 x 趋近

于瑕点时有 f (x) ~ g(x), 则你已经接近成功了! 这是因为根据极限比

较判别法, g 与 f 敛散性一致. 更准确地, 下面是该判别法针对瑕点的有

限和无穷两种情形的判别.

极限比较判别法中瑕点为无穷的情形：找一个在区间 [a, ∞) 上没

有瑕点、形式较简单的非负函数 g, 且有当 x → ∞ 时, f (x) ~

g(x), 则

(1) 若 收敛, 则 收敛;

(2) 若 发散, 则 发散.