Page 924 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

若 p 是一个多项式型函数而不是多项式, 则有一个类似原理适用. (欲

知有关多项式型函数更多的信息, 参见 4.4 节.) 例如, 为了解 x → ∞

时的 , 将它写为 3x 1/2 - 2x 1/3 + 4, 由于最高次幂为

1/2, 我们可以说当 x → ∞ 时, . (当 x → -∞ 时不

成立, 因为负数不能开平方!)

有时最高次幂不好确定. 例如, 看起来是一个有最高

次幂 4 的关于 x 的多项式型函数, 不过要开平方, 就会使幂次下降为

2
2. 当将 x 项消掉后, 最高次幂就有些难以理解了. 在本节末, 我们将讨

论如何处理这样的问题.

由于我们有许多新的渐近关系, 故可以用极限比较判别法分析很多

反常积分. 例如, 考虑

和 .

在这两个积分中, ∞ 都是唯一的瑕点. 第一个积分的分母 可以

写为 2 + 20x 1/2 , 这里 1/2 是最高次幂, 因此当 x → ∞ 时, 有

, 则

当 x → ∞ 时, .

现在由 p 判别法可知积分