Page 929 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

4
收敛还是发散呢？我们从 |sin(x )| ≤ 1 开始. 注意, 将 A 的正弦值换
4
成 x 的正弦值是没关系的, 因为任何数的正弦 (或余弦) 的绝对值都不

超过 1. 因此, 我们有

太棒了, 我们去除了表达式中的所有三角函数, 右边积分的唯一瑕点出

现在 ∞ 处. 由于对于大数 x, 最高次幂起主要作用, 所以我们有当

. 现在取倒数可得

当 x → ∞ 时, .

由 p 判别法, 我们知道 收敛, 极限比较判别法告诉我们

也收敛. 最后, 我们有

所以由比较判别法知原积分收敛.

|sin(A)| ≤ 1 和 |cos(A)| ≤ 1 的另一个漂亮的应用是, 相对于 x 的任

何正数次幂, 任何数的正弦或余弦值都可忽略, 至少在 x → ∞ 或 x →

-∞ 时是这样的. 例如