Page 926 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

也收敛.

两个积分都收敛, 所以原积分也收敛. 这种情况经常出现, 所以要小心,

记着确保将积分进行拆分. 基本上, 如果 “极限比较函数”g 有原函数没

有的瑕点, 为了避免产生新的瑕点, 你需要将原函数进行拆分. 通常新

p
的被积函数 g(x) 具有形式 1/x , 所以当有瑕点 ∞ 时, 就像我们例子一

样, 只需避免出现 x = 0.

我们来看另一个例子

这个问题有点复杂, 唯一的瑕点是 ∞. 被积函数的分子很容易处理：当

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5
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x → ∞, 有 3x + 2x + 9 ~ 3x . 对于分母, 首先注意到当 x → ∞,
. 由于 13/2 大于 6, 项在分母

中起主要作用, 所以当 x → ∞, 整个分母渐近等价于 2x 13/2 . 综上所述,

我们有

当x → ∞时,

由 p 判别法可知积分

收敛, 所以由极限比较判别法可知原积分也收敛.