Page 931 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

则原积分也收敛.

21.3.3 指数在 ∞ 和 -∞ 附近的表现

这是一个非常有用的原理：指数比多项式增长得快. 我们在 9.4.4 节最

先给出这个结论, 当时用下面的形式来表示这个原理：

x
n
其中 n 是任意正数, 甚至很大的数. 现在考虑函数 f (x) = x /e , 我们
可知 f (0) = 0, 且由上面的极限有当 x → ∞ 时 f (x) → 0. 那么当 x ≥

0 时, f (x) 能有多大呢？ 函数从 0 开始, 中间没有垂直渐近线, 然后又

折返下来, 在 y = 0 处有水平渐近线, 所以 y = f (x) 的图像必然有最

x
n
大高度, 我们定义为 C. 意思是对所有的 x ≥ 0, f (x) = x /e ≤ C.
(注意对不同的 n 有不同的 C 与之对应, 但这无关紧要.) 现在, 将 1/e x

n
-x
写为 e , 并两边同时除以 x , 得到一个有用的不等式

-x
如 9.4.4 节所述, 如果将 e 换成 e p(x) 也是对的, 这里 p(x) 是

当 x → ∞ 时趋于无穷的任何一个多项式型表达式, 底数 e 也可以换成

-x
其他大于 1 的数. 例如, 若将 e 换为 上述不等式也成立.
这里重点是你可以任意选择 n, 但要注意使它足够地大. 例如, 考虑