Page 940 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这里若没有因子 ln(x), 积分仍收敛, 但这个因子在分母上其实是有帮助

的. 也就是说, 当 ln(x) 在分母上时, 分母变得比原来更大了, 使得被积

函数变小了, 这有利于积分收敛. 如何更有效地把这些写下来呢？随着

x 的增大, ln(x)有下界. 这时, 积分区间是 [2, ∞), 那么 ln(x) 在这个区

间上能有多小呢？由于 ln(x) 是关于 x 的增函数, 所以当 x = 2 时,

ln(x) 在该区间上有最小值. 所以, 我们仅需要写出当 x ≥ 2 时 ln(x)

≥ ln(2). 这有什么帮助吗？两边取倒数, 发现当 x ≥ 2 有

然后两边同时除以 x 1.001 后, 左边为被积函数：

现在可用比较判别法, 因为

要知道 ln(2) 是一个常数, 因此可被提到积分符号前面, 由 p 判别

法可知原积分收敛, 因为 1.001 比 1 大. 所以上面 6 个积分中的第二

个积分收敛. 顺便说一下, 确定值 ln(2) 是无关紧要的, 我们可以将

ln(2) 换成任何常数 C, 证明仍然成立.

那么第三个积分呢？看