Page 938 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

首先注意我们不考虑对数在 -∞ 附近的情形, 因为负数不能取对数, 所

以讨论当 x → -∞ 时的 ln(x) 是没有意义的.

另一方面, 对数在∞处增长得很慢. 事实上, 对数比 x 的任何正数次幂

增长都慢. 用符号来表示就是, 若 α > 0 是你选择的某个正数, 则不管

它有多小, 都有

在 9.4.5 节, 我们详细讨论了这个原理. 由 21.3.3 节的一个类似论述

可得, 必有一个常数 C 使得

上述结论对任何底数大于 1 的对数或最高次项系数为正的多项式

的对数都成立.

例如, 考虑

若没有 ln(x), 则由 p 判别法可知该积分收敛. 由于 ln(x) 增长得很慢,

它基本不会有什么影响. 虽然这是个正确概念, 但并不精确. 为了证明

α
α
这个说法, 我们要用到 ln(x) ≤ Cx , 其中 α 小到 x 不会影响 1.001