Page 941 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

如果把分子中的 ln(x) 拿掉会怎样？我们知道 发散, 把 ln(x)

放回去, 情况只会变得更糟, 所以上述积分应该发散. 为了加以证明, 我

们使用不等式 ln(x) ≥ ln(2), 此时 x ≥ 2(或者可将 ln(2) 换成任何常

数 C > 0). 可得

由比较判别法可知积分发散.

对第四个积分

现在需要做一些完全不同的事情了. 可以看到, 这个积分的任何部

分都达到了完美的均衡. 如果没有因子 ln(x) 则积分发散. 由于 ln(x)

在分母中, 又会给积分以收敛的机会. 它的作用足够使积分收敛吗？我

α
们想利用 ln(x) ≤ Cx , 但无论选择多么小的 α 都找不到一个有效的比

较. (试一下就知道了!) 在此我们考虑用变量代换. 令 t = ln(x), 则 dt

= 1/x dx. 当 x = 2, 我们有 t = ln(2), 且当 x → ∞ 时有 t → ∞, 所

以