Page 946 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

21.4 常见函数在 0 附近的表现

目前我们已经知道了, 多项式、三角函数、指数、对数在 ∞ 附近的表

现. 再来看一下它们在 0 附近的表现.

21.4.1 多项式和多项式型函数在 0 附近的表现

对多项式, 最低次幂在x → 0时起决定作用. 这与 x → ∞ 时的情况正好

相反. 更准确地, 假设 p 是多项式, 则有

3
4
2
2
例如, 当 x → 0, 5x - x + 2x ~ 2x . 我们通过证明它们之比的极
限为 1 来说明：

对于多项式型函数, 并不是总能那么容易找到最低次项, 不过该原

+
理仍适用. 例如, 当 x → 0 , , 因为 且 1/2 小于

+
2. (这里 x → 0 , 因为不能对负数开平方.) 该原理甚至对常数也适用,
0
0
常数其实是 x 的倍数, 而 x 是次数很低的项. 如, 当 x → 0, 2x 1/3 +
0
4 ~ 4, 因为 4x 的指数低于 2x 1/3 的指数.

我们来看一些关于反常积分的例子. 考虑