Page 950 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

因为 收敛, 由极限比较判别法可知原积分收敛. 这个例

子有意思的地方是积分

也收敛, 但原因却完全不同. 这里瑕点在 ∞, 我们要使用绝对积分, 对绝

对积分进行直接比较有

所以原积分收敛 (这里用了 p 判别法、比较判别法和绝对收敛判

别法). 注意在 ∞ 处, 比较好的幂次为 3/2(要是 1/2 就糟了!) 且正弦函

数没起任何帮助作用 (也没帮倒忙). 这里我们也顺便得出

收敛, 知道为什么吗？

注: 虽然我们只讨论当 x → 0 的情况, 但这并不意味着瑕点必须在 0

处, 也可能在 ∞ 处的, 就像下面的例子：

这里瑕点在 ∞ 处, 但当 x → ∞ 时 1/x 变得很小. 所以在关系 sin(x) ~

x(当 x → 0) 中, 将 x 换为 1/x 可得当 1/x → 0 时, sin(1/x) ~ 1/x.