Page 949 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

(若不明白余弦的极限, 将 cos(x) 写成 cos(x)/1 就可得当 x →

0, cos(x) ~ 1.) 注意：这些渐近等价关系的积和商成立, 而和与差不

成立. 例如, 不能说当 x → 0, sin(x) - x ~ 0. 更深入的讨论见 20.4.1

节末.

我们来看一些例子. 考虑

和 .

这两个积分看上去很相似, 外表很有迷惑性. 我们对两个积分都

采用 tan(x) ~ x(当 x → 0). 具体过程可以自行完成, 基本方法是：对

第一个积分采用 1/ tan(x) ~ 1/x(当 x → 0), 并由极限比较判别法知

+
积分发散; 对第二个积分采用 (当 x → 0 ), 并由极

限比较判别法知该积分收敛.

这是另一个例子：积分

没有因子 sin(x), 积分根本不会收敛, 因为 3/2 大于 1, 由 p 判别法可

知积分发散. 但因子 sin(x) 改变了这种状况：

+
, 当 x → 0 .