Page 976 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

几何级数(理论)

我们来看一个无穷级数的重要例子. 假定以我们在 22.1.2 节见过的等

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比数列 1, r, r , r , … 开始, 可以把这个数列作为无穷级数

的项, 则这个级数为几何级数. 问题是, 该级数收敛吗？若收敛, 收敛

于何值？

为了求解, 我们最好看一下部分和. 选择数 N , 则部分和 A 为
N

用求和号表示为

希望你在前面的学习中已经知道上述表达式可化简为

只要 r ≠ 1. (不管怎样, 后面会给出其证明.) 现在我们要求当 N → ∞

时 A 的极限, 首先假设 -1 < r < 1, 则由前面 22.1.2 节方框中第一
N

种情形知 , 将 N 换为 N + 1 也得到 . 所以