Page 979 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

22.3 第 n 项判别法 (理论)

对于收敛级数, 部分和的极限必须存在. 要知道, N 步后的部分和表示

你按照持扩音器家伙的指令走了 N 步后的位置. (若不明白我在说什么,

参见 22.2 节) 总之, 若你的位置随着你的步数不断增加而逐渐收敛于

某个极限位置, 则每一步都需要变得很小很小, 否则, 你将失误且不能

待在与特定位置一致的地方. 前后挪动并不好, 要接近特定位置, 你需

要非常靠近, 驻留在很接近的位置.

所以, 由数列 {a } 给出的每一步到最后要变得很小很小, 才能使得级
n
数收敛. 数学上表示为, 当 n → ∞ 时 a → 0, 故我们有
n

若 , 则级数可能收敛也可能发散, 需要采用其他的方法

解决该问题. 注意：第 n 项判别法不能用于级数收敛性的判别!

这个判别法是一种求真判定：若 a 不趋于 0, 该级数发散. 否则仍需
n

要采用其他方法继续讨论该问题. 例如, 我们马上要讨论

收敛, 但 发散.