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208 ESTUDIO DE CASOS: RAÍCES DE ECUACIONES

Por lo tanto,
q(t)
q 0 dq dq 1
2
L + R + q = (8.18)
0
dt 2 dt C
Tiempo
Ésta es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden que se resuelve usan-
do los métodos de cálculo (véase la sección 8.4). Esta solución está dada por

FIGURA 8.4 ⎡ 1 ⎛ R ⎞ 2 ⎤
La carga en un capacitor qt() = q e – Rt/(2 L) cos ⎢ ⎢ – ⎝ 2 L ⎠ t ⎥ (8.19)
0
como función del tiempo ⎣ LC ⎥ ⎦
después de cerrar el
interruptor de la fi gura 8.3. si en t = 0, q = q = V C y V = el voltaje de la batería. La ecuación (8.19) describe la
0
0
0
variación de la carga en el capacitor. La solución q(t) se grafica en la figura 8.4.
Un problema de diseño típico en ingeniería eléctrica consistiría en la determinación
del resistor apropiado para disipar energía a una razón especificada, con valores cono-
cidos de L y C. En este problema, suponga que la carga se debe disipar a 1% de su valor
–4
original (q/q = 0.01) en t = 0.05 s, con L = 5 H y C = 10 F.
0
Solución. Es necesario despejar R de la ecuación (8.19) con valores conocidos para
q, q , L y C. Sin embargo, debe emplear una técnica de aproximación numérica, ya que
0
R es una variable implícita en la ecuación (8.19). Se usará el método de bisección para
dicho propósito. Los otros métodos estudiados en los capítulos 5 y 6 también son apro-
piados; aunque el método de Newton-Raphson tiene el inconveniente de que la derivada
de la ecuación (8.19) es un poco complicada. Reordenando la ecuación (8.19),

⎡ ⎞ 2 ⎤
ƒ() R = e – Rt /( L2 ) cos ⎢ 1 – ⎛ R ⎠ t ⎥ – q
⎢ LC ⎝ L ⎥ ⎦ q 0
2
⎣
Utilizando los valores numéricos dados,

ƒ()R = e –.0 005 R cos [ 2 000 – 0.01 R 2 ( . ) – .]005 001 (8.20)

Un examen de esta ecuación sugiere que un rango inicial razonable para R es 0 a 400 Ω
2
(ya que 2 000 – 0.01R debe ser mayor que cero). La figura 8.5 es una gráfica de la
ecuación (8.20), que confirma lo anterior. Al hacer veintiún iteraciones con el método
de bisección se obtiene una raíz aproximada R = 328.1515 Ω, con un error menor al
0.0001 por ciento.
De esta forma, se especifica un resistor con este valor para el circuito mostrado en
la figura 8.6 y se espera tener una disipación consistente con los requisitos del problema.
Este problema de diseño no se podría resolver eficientemente sin el uso de los métodos
numéricos vistos en los capítulos 5 y 6.

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