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210 ESTUDIO DE CASOS: RAÍCES DE ECUACIONES

–x

Amortiguador
Resorte
+x
m

FIGURA 8.7
Un carro de masa m.

mecanismo que absorba la energía. Además, la vibración puede ser libre o sujeta a algún
disturbio periódico externo. En este último caso, se dice que el movimiento es forzado.
En esta sección se examinará la vibración libre y forzada del automóvil, que se muestra
en la figura 8.7. El tratamiento general es aplicable a muchos otros problemas de inge-
niería.
Como se observa en la figura 8.7, un carro de masa m se soporta por medio de re-
sortes y amortiguadores. Los amortiguadores presentan resistencia al movimiento, que
es proporcional a la velocidad vertical (movimiento ascendente-descendente). La vibra-
ción libre ocurre cuando el automóvil es perturbado de su condición de equilibrio, como
ocurre cuando se pasa por un bache (agujero en el camino). Un instante después de
pasar por el bache, las fuerzas netas que actúan sobre m son la resistencia de los resortes
y la fuerza de los amortiguadores. Tales fuerzas tienden a regresar el carro al estado de
equilibrio original. De acuerdo con la ley de Hooke, la resistencia del resorte es propor-
cional a su constante k y a la distancia de la posición de equilibrio x. Por lo tanto,

Fuerza del resorte = –kx

donde el signo negativo indica que la fuerza de restauración actúa regresando el auto-
móvil a su posición de equilibrio (es decir, la dirección x negativa). La fuerza para un
amortiguador está dada por
dx
Fuerza de amoriguación = –c
dt
donde c es el coeficiente de amortiguamiento y dx/dt es la velocidad vertical. El signo ne-
gativo indica que la fuerza de amortiguamiento actúa en dirección opuesta a la velocidad.
Las ecuaciones de movimiento para el sistema están dadas por la segunda ley de
Newton (F = ma), que en este problema se expresa como
2
d x dx
m × = –c + (–kx)
dt 2 dt
Masa × aceleración = fuerza de amortiguamiento + fuerza del resorte

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