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212 ESTUDIO DE CASOS: RAÍCES DE ECUACIONES

donde

λ = c
2 m

A tales sistemas se les llama críticamente amortiguados.
En los tres casos, x(t) se aproxima a cero cuando t tiende al infinito. Esto significa
que el automóvil siempre regresa a la posición de equilibrio después de pasar por un
bache (¡aunque esto parecería poco probable en algunas ciudades que hemos visitado!).
Estos casos se ilustran en la figura 8.8.
El coeficiente de amortiguamiento crítico c es el valor de c que hace que el radical
c
de la ecuación (8.22) sea igual a cero,
c = 2 km o c = 2 mp (8.26)
c c
donde

p = k (8.27)
m
La relación c/c c se llama factor de amortiguamiento, y a p se le conoce como la frecuen-
cia natural de la vibración libre no amortiguada.
Ahora, consideremos el caso donde el automóvil está sujeto a una fuerza periódica
dada por

P = P m sen wt o d = d m sen wt

donde d m = P m /k = la deflexión estática del carro sujeto a una fuerza P m . La ecuación
diferencial que rige este caso es

2
dx dx
m 2 + c + kx = P sen ω
t
m
dt dt
La solución general de esta ecuación se obtiene al sumar una solución particular a
la solución por vibración libre, dada por las ecuaciones (8.23), (8.24) y (8.25). Conside-

FIGURA 8.8
Vibraciones a) sobreamor- x(t)
tiguadas, b) subamortigua- Amortiguamiento
das y c) amortiguadas crítico
críticamente. Sobreamortiguamiento

t
Subamortiguamiento

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