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8.4 ANÁLISIS DE VIBRACIONES 211

o bien
2
dx dx
m + c + kx = 0
dt 2 dt
Observe la similitud con la ecuación (8.18) que se desarrolló en la sección 8.3 para un
circuito eléctrico.
rt
Si se supone que la solución toma la forma x(t) = e , entonces se escribe la ecuación
característica
2
mr + cr + k = 0 (8.21)
La incógnita r es la solución de la ecuación característica cuadrática que se puede obte-
ner, ya sea en forma analítica o numérica. En este problema de diseño, primero se utili-
za la solución analítica para ofrecer una idea general de la forma en que el movimiento
del sistema es afectado por los coeficientes del modelo: m, k y c. También se usarán
diferentes métodos numéricos para obtener las soluciones, y se verificará la exactitud
de los resultados con la solución analítica. Por último, sentaremos las bases para proble-
mas más complicados que se describirán más tarde en el texto, donde los resultados
analíticos son difíciles o imposibles de obtener.
La solución de la ecuación (8.21) para r está dada por la fórmula cuadrática

2
r 1 = – c ± c – 4 mk (8.22)
r 2 2 m

Note el significado de la magnitud de c al compararla con 2 km . Si c > 2 km ,
r y r son números reales negativos, y la solución es de la forma
1
2
r t r t
x(t) = Ae 1 + Be 2 (8.23)
donde A y B son constantes que se deben determinar a partir de las condiciones iniciales
de x y dx/dt. Tales sistemas se denominan sobreamortiguados.
Si c < 2 km , las raíces son complejas,
r
1 = λ ± i µ
r
2
donde

2
µ = ⏐c – 4 mk ⏐
2m
y la solución es de la forma

–lt
x(t) = e (A cos µt + B sen µt) (8.24)
Tales sistemas se conocen como subamortiguados.
Por último, si c = 2 km , la ecuación característica tiene una raíz doble y la solución
es de la forma

x(t) = (A + Bt)e –lt (8.25)

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