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8.4 ANÁLISIS DE VIBRACIONES 215

Ahora, se buscan valores w/p que satisfagan la ecuación (8.28),

2 = 1 (8.30)
22
ω p
4 0 1221) ( / ) p
1 [– ( / ) ] + ( . 2 ω 2
Si la ecuación (8.30) se expresa como un problema de raíces

2
ƒ(/ )ω p = 2 [ – (/ ) ]ω p1 22 + ( .4 0 1221 ) (/ ) –ω p 2 1 = 0 (8.31)

Vea que los valores w/p se determinan al encontrar las raíces de la ecuación (8.31).
Una gráfica de la ecuación (8.31) se presenta en la figura 8.10. En ésta se muestra
que la ecuación (8.31) tiene dos raíces positivas que se pueden determinar con el méto-
do de bisección, usando el software TOOLKIT. El valor más pequeño para w/p es igual
a 0.7300 en 18 iteraciones, con un error estimado de 0.000525% y con valores iniciales
superior e inferior de 0 y 1. El valor mayor que se encuentra para w/p es de 1.1864 en
17 iteraciones, con un error estimado de 0.00064% y con valores iniciales superior e
inferior de 1 y 2.
También es posible expresar la ecuación (8.30) como un polinomio:

⎛ ω ⎞ 4 ⎛ ω ⎞ 2
⎜ ⎟ –. ⎜ ⎟ + 0 75. (8.32)
1 9404
⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠
y usar MATLAB para determinar las raíces como sigue:

>> a=[l 0 -1.9404 0 .75];
>> roots (a)
ans =

1.1864
-1.1864
0.7300
-0.7300

Lo cual confirma el resultado obtenido con el método de bisección. Esto también sugie-
re que, aunque la ecuación (8.32) es una ecuación de cuarto grado en w/p, también es
2
una ecuación cuadrática en (w/p) .
El valor de la frecuencia natural p está dado por la ecuación (8.27),

.
p = 1 397 ×10 9 = 34 12 s –1
.
12 . ×10 6
Las frecuencias forzadas, para las que la máxima deflexión es 0.2 m, entonces se calcu-
lan como

w = 0.7300(34.12) = 24.91 s –1
w = 1.1864(34.12) = 40.48 s –1

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