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214 ESTUDIO DE CASOS: RAÍCES DE ECUACIONES

cia x , desde el equilibrio, y la velocidad es cero (dx/dt = 0), la solución de la ecuación
0
de movimiento está dada por la ecuación (8.24), con A = x y B = x l/m. Por lo tanto,
0
0
⎛ λ ⎞
xt() = x e – t λ ⎜ cos µ t + sen t µ ⎟
⎝ µ ⎠
0
Nuestras condiciones de diseño se satisfacen si
λ
xt() = 0 = cos (0.05µ ) + sen (0.05 )µ
µ

o bien

⎛ k c 2 ⎞ c ⎛ k c 2 ⎞
0 = cos ⎜ 0 05. – 2 ⎟ + sen ⎜ 005. – 2 ⎟ (8.29)
⎝ m 4m ⎠ 4km c 2 ⎝ m 4m ⎠
–

Dado que se conocen c y m, el problema de diseño consiste ahora en encontrar valores
apropiados de k que satisfagan la ecuación (8.29).

Solución. Se pueden utilizar los métodos de la bisección, de la falsa posición o de la
secante, ya que esos métodos no requieren la evaluación de la derivada de la ecuación
(8.29), la cual podría resultar algo difícil de calcular en este problema. La solución es
9
k = 1.397 × 10 , con 12 iteraciones, utilizando el método de bisección con un intervalo
9
9
inicial que va de k = 1 × 10 a 2 × 10 (e = 0.07305%).
a
Aunque este diseño satisface los requerimientos de vibración libre (después de caer
en un bache), también debe probarse bajo las condiciones de un camino accidentado. La
superficie del camino se puede aproximar como
⎛ 2π x ⎞
d = d sen ⎝ D ⎠
m

donde d es la deflexión, d es la máxima deflexión de 0.1 m y D es la distancia entre los
m
picos que es igual a 20 m. Si v es la velocidad horizontal del automóvil (m/s), entonces
la ecuación de movimiento del sistema se escribe como

2
dx dx ⎛ 2πv ⎞
m + c + kx = kd sen t
m
dt 2 dt ⎝ D ⎠
donde w = 2pv/D es la frecuencia forzada.
La estabilidad del carro se considera satisfactoria si en estado estacionario la máxi-
ma distancia x es inferior a 0.2 m para todas la velocidades de manejo. El factor de
m
amortiguamiento se calcula de acuerdo con la ecuación (8.26)
×
c 10 110 7
= = = 0 1221
.
c 2 km 2 1 397 ×10 1 2 . ×10 )
6
9
.
(
c
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