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220 ESTUDIO DE CASOS: RAÍCES DE ECUACIONES

T A y T B son las fuerzas de tensión en el extremo. Con base en los Utilice el método de la bisección para determinar el punto de
balances de fuerzas horizontal y vertical, se obtiene para el cable máxima deflexión (es decir, el valor de x donde dy/dx = 0). Des-
el siguiente modelo de ecuación diferencial: pués, sustituya este valor en la ecuación (P8.18) a fin de deter-
minar el valor de la deflexión máxima. En sus cálculos, utilice
2
dy = w 1+ ⎛ dy ⎞ 2 los valores siguientes para los parámetros: L = 600 cm, E = 50 000
2
4
dx 2 T A ⎝ dx ⎠ kN/cm , I = 30 000 cm y w 0 = 2.5 kN/cm.
8.19 En la ingeniería ambiental (una especialidad de la ingenie-
Puede emplearse el cálculo para resolver esta ecuación para la ría civil), la ecuación siguiente se emplea para calcular el nivel
altura y del cable como función de la distancia x. de oxígeno c (mg/L) en un río aguas abajo de la descarga de un
drenaje:
⎞
y = T A cosh ⎛ w x + y − T A
⎜
⎟
w ⎝ T A ⎠ 0 w c = 10 – 20(e –0.15x – e –0.5x )
donde el coseno hiperbólico se calcula por medio de la ecua- donde x es la distancia aguas abajo en kilómetros.
ción:
a) Determine la distancia aguas abajo de la corriente, a la cual
cosh x = 1 (e + e – x ) el nivel de oxígeno cae hasta una lectura de 5 mg/L. (Reco-
x
2 mendación: está dentro de 2 km de la descarga.) Encuentre
la respuesta con un error de 1%. Obsérvese que los niveles
Utilice un método para calcular un valor para el parámetro T A de oxígeno por debajo de 5 mg/L por lo general son dañinos
dados los valores de los parámetros w = 12 y y 0 = 6, de modo
que el cable tenga una altura de y = 15 en x = 50. para ciertas especies de pesca deportiva, como la trucha y
8.18 En la figura P8.18a se muestra una viga uniforme sujeta a el salmón.
una carga distribuida uniformemente que crece en forma lineal. b) Calcule la distancia aguas abajo a la cual el oxígeno se
La ecuación para la curva elástica resultante es la siguiente encuentra al mínimo. ¿Cuál es la concentración en dicha
(véase la figura P8.18b) ubicación?
y = w 0 − ( x + 2 L x − L x) (P8.18) 8.20 La concentración de bacterias contaminantes c en un lago
4
3
2
5
120 EIL disminuye de acuerdo con la ecuación
c = 75e –1.5t + 20e –0.075t
Determine el tiempo que se requiere para que la concentración
Figura P8.18 de bacterias se reduzca a 15 con el uso de a) el método gráfico, y
b) el método de Newton-Raphson, con un valor inicial de t = 6
y criterio de detención de 0.5%. Compruebe los resultados que
w 0 obtenga.
8.21 En ingeniería oceanográfica, la ecuación de una ola esta-
cionaria reflejada en un puerto está dada por l = 16, t = 12,
v = 48:

⎡ ⎛ 2π x ⎞ t ⎞ x ⎤
h = ⎛ 2π v + −
⎢
L h sen ⎝ λ ⎠ cos ⎝ λ ⎠ e ⎥ ⎦
0
⎣
a)
Resuelva para el valor positivo más bajo de x, si h = 0.5 h 0 .
8.22 Suponga el lector que compra una pieza de equipo en
(x = L, y =0) $25 000 como pago inicial y $5 500 por año durante 6 años. ¿Qué
(x = 0, y =0)
tasa de interés estaría pagando? La fórmula que relaciona el
x valor presente P, los pagos anuales A, el número de años n y la
tasa de interés i, es la que sigue:
b) A = P i +(1 i) n
(1 i + ) n −1

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