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9.1 SOLUCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS DE ECUACIONES 253

9.1.3 La eliminación de incógnitas

La eliminación de incógnitas mediante la combinación de ecuaciones es un método al-
gebraico que se ilustra con un sistema de dos ecuaciones simultáneas:

a x + a x = b 1 (9.6)
11 1
12 2
a x + a x = b 2 (9.7)
22 2
21 1
La estrategia básica consiste en multiplicar las ecuaciones por constantes, de tal forma
que se elimine una de las incógnitas cuando se combinen las dos ecuaciones. El resul-
tado es una sola ecuación en la que se puede despejar la incógnita restante. Este valor
se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para calcular la otra variable.
Por ejemplo, la ecuación (9.6) se multiplica por a y la ecuación (9.7) por a para dar
11
21
a a x + a a x = b a (9.8)
12 21 2
11 21 1
1 21
a a x + a a x = b a (9.9)
2 11
22 11 2
21 11 1
Restando la ecuación (9.8) de la (9.9) se elimina el término x de las ecuaciones para
1
obtener
a a x – a a x = b a – b a
12 21 2
1 21
2 11
22 11 2
Despejando x 2
x = ab – a b (9.10)
11 2
21 1
2
aa – a a
11 22
12 21
Sustituyendo (9.10) en (9.6) y despejando
x = ab – a b (9.11)
22 1
12 2
1
aa – a a
12 21
11 22
Observe que las ecuaciones (9.10) y (9.11) se relacionan directamente con la regla de
Cramer, que establece
b a
1 12
b a ba − a b
x = 2 22 = 122 12 2
1
a 11 a 12 aa − a a
11 22
12 21
a 21 a 22
a b
11 1
a b ab − b a
x = 21 2 = 11 2 1 21
2
a a aa − a a
11 12 11 22 12 21
a a
21 22

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