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256 ELIMINACIÓN DE GAUSS

El procedimiento se repite después con las ecuaciones restantes. Por ejemplo, la
ecuación (9.12a) se puede multiplicar por a /a y el resultado se resta de la tercera ecua-
31
11
ción. Se repite el procedimiento con las ecuaciones restantes y da como resultado el
siguiente sistema modificado:
a x + a x + a x + ··· + a x = b (9.14a)
13 3
1n n
11 1
12 2
1
a′ x + a′ x + ··· + a′ x = b′ (9.14b)
23 3
22 2
2n n
2
a′ x + a′ x + ··· + a′ x = b′ (9.14c)
32 2
33 3
3
3n n
· ·
· ·
· ·
a′ x + a′ x + · · · + a′ x = b′ (9.14d)
nn n
n3 3
n
n2 2
En los pasos anteriores, la ecuación (9.12a) se llama la ecuación pivote, y a se deno-
11
mina el coeficiente o elemento pivote. Observe que el proceso de multiplicación del
primer renglón por a /a es equivalente a dividirla entre a y multiplicarla por a .
11
21
21
11
Algunas veces la operación de división es referida a la normalización. Se hace esta
distinción porque un elemento pivote cero llega a interferir con la normalización al
causar una división entre cero. Más adelante se regresará a este punto importante, una
vez que se complete la descripción de la eliminación de Gauss simple.
Ahora se repite el procedimiento antes descrito para eliminar la segunda incógnita
en las ecuaciones (9.14c) hasta (9.14d). Para realizar esto, multiplique la ecuación (9.14b)
por a′ /a′ y reste el resultado de la ecuación (9.14c). Se realiza la eliminación en forma
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similar en las ecuaciones restantes para obtener
a x + a x + a x + · · · + a x = b 1
1n n
11 1
12 2
13 3
a′ x + a′ x + · · · + a′ x = b′ 2
2n n
22 2
23 3
a′′x + · · · + a′′ x = b′′ 3
3n n
33 3
· ·
· ·
· ·
a′′ x + · · · + a′′ x = b′′ n
n3 3
nn n
donde el superíndice biprima indica que los elementos se han modificado dos veces.
El procedimiento puede continuar usando las ecuaciones pivote restantes. La última
manipulación en esta secuencia es el uso de la (n – 1)ésima ecuación para eliminar el
término x n–1 de la n-ésima ecuación. Aquí el sistema se habrá transformado en un siste-
ma triangular superior (véase el cuadro PT3.1):
a x + a x + a x + · · · + a x = b (9.15a)
1n n
12 2
1
13 3
11 1
a′ x + a′ x + · · · + a′ x = b′ (9.15b)
2
22 2
2n n
23 3
a′′ x + · · · + a′′ x = b′′ (9.15c)
3n n
3
33 3
· ·
· ·
· ·
(n – 1)
a nn x = b n (n – 1) (9.15d)
n
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