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9.2 ELIMINACIÓN DE GAUSS SIMPLE 255

El método está ideado para resolver un sistema general de n ecuaciones:
a x + a x + a x + · · · + a x = b 1 (9.12a)
1n n
11 1
13 3
12 2
a x + a x + a x + · · · + a x = b 2 (9.12b)
23 3
22 2
21 1
2n n
· ·
· ·
· ·
a x + a x + a x + · · · + a x = b n (9.12c)
nn n
n2 2
n1 1
n3 3
Como en el caso de dos ecuaciones, la técnica para resolver n ecuaciones consiste en dos
fases: la eliminación de las incógnitas y su solución mediante sustitución hacia atrás.
Eliminación hacia adelante de incógnitas. La primera fase consiste en reducir el
conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior (figura 9.3). El paso inicial será
eliminar la primera incógnita, x , desde la segunda hasta la n-ésima ecuación. Para ello,
1
se multiplica la ecuación (9.12a) por a /a para obtener
21
11
a a a
ax + 21 ax + + 21 ax = 21 b (9.13)
21 1
a 12 2 a 1 nn a 1
11 11 11
Ahora, esta ecuación se resta de la ecuación (9.12b) para dar
⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ a
⎜ a – 21 a 12⎟ x + + ⎜ a − 21 a 1 n⎟ x = b − 21 b 1
2
2
n
n
2
⎝ a 11 ⎠ ⎝ a 11 ⎠ a 11
22
o
′ ax + + ′ a x = ′ b 2
nn
2
22 2
donde el superíndice prima indica que los elementos han cambiado sus valores originales.
FIGURA 9.3
Las dos fases de la a ⎡ a a c ⎤
eliminación de Gauss: ⎢ 11 12 13 1 ⎥
eliminación hacia adelante ⎢ ⎢ a 21 a 22 a 23 c 2⎥ ⎥
y sustitución hacia atrás. ⎣ a 31 a 32 a 33 c 3 ⎦
Los superíndices prima ⇓ Eliminación
indican el número de veces a ⎡ c ⎤ hacia adelante
que se han modifi cado los ⎢ 11 a 12 a 13 1 ⎥
coefi cientes y constantes. ⎢ a′ 22 a′ 23 c′ 2⎥
⎢ a′′ c′′ ⎥
⎣ 33 3 ⎦
⇓
c a′′
x = ′′ / 33
3
3
Sustitución
a x )/
x = ( c′ − ′ 23 3 a′ 22 hacia atrás
2
2
x = ( c − a x – a x )/a 11
1
12 2
1
13 33
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