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10.3 ANÁLISIS DEL ERROR Y CONDICIÓN DEL SISTEMA 299

Cuadro 10.2 Normas matriciales

Como se vio en esta sección, las normas euclidianas se emplean la cual define la norma como el elemento con el mayor valor
para cuantificar el tamaño de un vector, absoluto.
Utilizando un método similar, se pueden desarrollar normas
e ∑
X = n x 2 i para matrices. Por ejemplo,
jn ∑
i=1 n
A = máx a
1 1≤≤ ij
=
i 1
o de una matriz,
Esto es, se realiza una sumatoria de los valores absolutos de los
n
e ∑
A = n ∑ a ij , 2 coeficientes para cada columna, y la mayor de estas sumatorias
se toma como la norma. Esto se conoce como la norma columna-
i=1 j=1
suma.
Una determinación similar se puede hacer para los renglones,
Para vectores, existen alternativas llamadas normas p que se y resulta una matriz-uniforme o norma renglón-suma,
representan generalmente por
in ∑
⎛ n p ⎞ 1/ p A ∞ = máx n a ij
X = ⎜∑ x i ⎟ 1 ≤≤
i ⎝ =1 ⎠
p j=1
Debe observarse que, en contraste con los vectores, la norma
Puede observarse que la norma euclidiana y la norma 2,⏐⏐X⏐⏐ 2 ,
2 y la norma euclidiana para una matriz no son lo mismo. Mien-
son idénticas para vectores.
tras que la norma euclidiana⏐⏐A⏐⏐ e puede ser fácilmente determi-
Otros ejemplos importantes son
nada mediante la ecuación (10.24), la norma 2 para matrices⏐⏐A⏐⏐ 2
1 ∑
X = n x i se calcula así:
=
⏐⏐A⏐⏐ 2 = (µ máx )
i 1 1/2
que representa la norma como la suma de los valores absolutos T
donde µ máx es el mayor eigenvalor de [A] [A]. En el capítulo 27
de los elementos. Otra es la norma magnitud-máxima o norma
se verá más sobre eigenvalores. Mientras tanto, el punto impor-
vector-uniforme.
tante es que la norma⏐⏐A⏐⏐ 2 , o norma espectral, es la norma mí-
nima y, por lo tanto, proporciona la medida de tamaño más
X = máx x
∞ 1 ≤≤ i ajustada (Ortega, 1972).
in
El concepto puede extenderse además a una matriz [A], de la siguiente manera
n
n
A = ∑ ∑ a 2 (10.24)
e ij ,
i=1 j=1
a la cual se le da un nombre especial (la norma de Frobenius). De la misma manera
como las normas de vectores, proporciona un valor único para cuantificar el “tamaño”
de [A].
Debe notarse que hay alternativas para las normas euclidiana y de Frobenius (véase
cuadro 10.2). Por ejemplo, la norma vector uniforme se define como

X ∞ = máx x
in
1 ≤≤ i

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