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14.1 MÉTODOS DIRECTOS 381

y

2

1

x

FIGURA 14.4
Direcciones conjugadas.

Aunque se está moviendo en forma gradual hacia el máximo, la búsqueda comien-
za a ser menos eficiente al moverse a lo largo de una cresta angosta hacia el máximo. Sin
embargo, también observe que las líneas unen puntos alternados tales como 1-3, 3-5 o
2-4; 4-6 que van en la dirección general del máximo. Esas trayectorias presentan una
oportunidad para llegar directamente a lo largo de la cresta hacia el máximo. Dichas
trayectorias se denominan direcciones patrón.
Hay algoritmos formales que capitalizan la idea de las direcciones patrón para en-
contrar los valores óptimos de manera eficiente. El más conocido de tales algoritmos es
el método de Powell, el cual se basa en la observación (véase la figura 14.4) de que si los
puntos 1 y 2 se obtienen por búsquedas en una dimensión en la misma dirección, pero
con diferentes puntos de partida, entonces la línea formada por 1 y 2 estará dirigida
hacia el máximo. Tales líneas se llaman direcciones conjugadas.
En efecto, se puede demostrar que si f(x, y) es una función cuadrática, las búsquedas
secuenciales a lo largo de las direcciones conjugadas convergerán exactamente en un
número finito de pasos, sin importar el punto de partida. Puesto que una función no lineal
a menudo llega a ser razonablemente aproximada por una función cuadrática, los méto-
dos basados en direcciones conjugadas son, por lo común, bastante eficientes y de hecho
son convergentes en forma cuadrática conforme se aproximan al óptimo.
Se implementará en forma gráfica una versión simplificada del método de Powell
para encontrar el máximo de

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f(x, y) = c – (x – a) – (y – b) 2
donde a, b y c son constantes positivas. Esta ecuación representa contornos circulares
en el plano x, y, como se muestra en la figura 14.5.
Se inicia la búsqueda en el punto cero con las direcciones iniciales h y h . Observe
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que h y h no son necesariamente direcciones conjugadas. Desde cero, se mueve a lo
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