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384 OPTIMIZACIÓN MULTIDIMENSIONAL NO RESTRINGIDA

respuesta a esta pregunta es proporcionada mediante lo que matemáticamente se conoce
como el gradiente, el cual se define así:
∂f ∂f
∇=f + i j (14.2)
∂x ∂y
Este vector también se conoce como “nabla f ”, el cual se relaciona con la derivada di-
reccional de f(x, y) en el punto x = a y y = b.
La notación vectorial ofrece un medio conciso para generalizar el gradiente a n
dimensiones,

⎧ ∂ƒ ⎫
⎪ () x ⎪
⎪ ∂x 1 ⎪
⎪ ∂ƒ () x ⎪
⎪ ∂ ⎪ x 2 ⎪ ⎪
∇ƒ() x = ⎨ ⋅ ⎬
⎪ ⋅ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⋅ ⎪
⎪ ∂ƒ () x ⎪
⎩ ∂ ⎪ x n ⎪ ⎭

¿Cómo se usa el gradiente? Para el problema de subir la montaña, si lo que interesa
es ganar elevación tan rápidamente como sea posible, el gradiente nos indica, de mane-
ra local, qué dirección tomar y cuánto ganaremos al hacerlo. Observe, sin embargo, que
dicha estrategia ¡no necesariamente nos lleva en una trayectoria directa a la cima! Más
tarde, en este capítulo, se analizarán estas ideas con mayor profundidad.

EJEMPLO 14.2 Utilización del gradiente para evaluar la trayectoria de máxima pendiente

Planteamiento del problema. Con el gradiente evalúe la dirección de máxima pen-
diente para la función

f(x, y) = xy 2
en el punto (2, 2). Se considera que la x positiva está dirigida hacia el este y la y positiva
hacia el norte.

Solución. Primero, la elevación se determina así
2
f(4, 2) = 2(2) = 8
Ahora, se evalúan las derivadas parciales,
∂ƒ
= y 2 = 2 2 = 4
∂x
∂ƒ
2
= xy = 2 2 2()() = 8
∂y

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