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382 OPTIMIZACIÓN MULTIDIMENSIONAL NO RESTRINGIDA

y

3
h
4
5
h 2 h 3 h 2 h 3
h 1 4
2
h 2
0
1
x

FIGURA 14.5
Método de Powell.

largo de la dirección h hasta un máximo que se localiza en el punto 1. Después se bus-
1
ca el punto 1 a lo largo de la dirección h para encontrar el punto 2. Luego, se forma una
2
nueva dirección de búsqueda h a través de los puntos 0 y 2. Se busca a lo largo de esta
3
dirección hasta que se localice el máximo en el punto 3. Después la búsqueda va del
punto tres en la dirección h hasta que se localice el máximo en el punto 4. Del punto 4
2
se llega al punto 5, buscando de nuevo h . Ahora, observe que ambos puntos, 5 y 3, se
3
ha localizado por búsqueda en la dirección h , desde dos puntos diferentes. Powell ha
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demostrado que h (formado por los puntos 3 y 5) y h son direcciones conjugadas. Así,
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4
buscando desde el punto 5 a lo largo de h , nos llevará directamente al máximo.
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El método de Powell se puede refinar para volverse más eficiente; pero los algorit-
mos formales van más allá del alcance de este texto. Sin embargo, es un método eficien-
te que converge en forma cuadrática sin requerir evaluación de la derivada.
14.2 MÉTODOS CON GRADIENTE

Como su nombre lo indica, los métodos con gradiente utilizan en forma explícita infor-
mación de la derivada para generar algoritmos eficientes que localicen el óptimo. Antes
de describir los procedimientos específicos, primero se repasarán algunos conceptos y
operaciones matemáticos clave.

14.2.1 Gradientes y hessianos
Recuerde del cálculo que la primera derivada de una función unidimensional proporcio-
na la pendiente de la recta tangente a la función que se analiza. Desde el punto de vista
de la optimización, ésta es una información útil. Por ejemplo, si la pendiente es positiva,

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