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14.2 MÉTODOS CON GRADIENTE 383

nos indica que al incrementar el valor de la variable independiente nos conducirá a un
valor más alto de la función que se está analizando.
Del cálculo, también recuerde que la primera derivada puede indicarnos cuándo se
ha encontrado un valor óptimo, puesto que éste es el punto donde la derivada toma el
valor de cero. Además, el signo de la segunda derivada puede indicarnos si se ha alcan-
zado un mínimo (positivo en la segunda derivada) o un máximo (negativo en la segunda
derivada).
Esas ideas fueron útiles en los algoritmos de búsqueda en una dimensión que se
estudiaron en el capítulo anterior. No obstante, para entender por completo las búsquedas
multidimensionales, se debe primero entender cómo se expresan la primera y la segun-
da derivada en un contexto multidimensional.

El gradiente. Suponga que se tiene una función en dos dimensiones f(x, y). Un ejem-
plo podría ser su altura sobre una montaña como una función de su posición. Suponga
que usted está en un lugar específico sobre la montaña (a, b) y quiere conocer la pen-
diente en una dirección arbitraria. Una forma de definir la dirección es a lo largo de un
nuevo eje h que forma un ángulo q con el eje x (figura 14.6). La elevación a lo largo de
un nuevo eje puede entenderse como una nueva función g(h). Si usted define su posición
como el origen de este eje (es decir, h = 0), la pendiente en esta dirección podría desig-
narse como g′(0). Esta pendiente, que se llama derivada direccional, se puede calcular
a partir de las derivadas parciales a lo largo de los ejes x y y mediante

θ
′ g ()0 = ∂f cos + ∂f sen θ (14.1)
∂x ∂y
donde las derivadas parciales son evaluadas en x = a y y = b.
Suponiendo que su objetivo es obtener la mayor elevación con el siguiente paso,
ahora la pregunta lógica sería: ¿En qué dirección está el mayor paso de ascenso? La

FIGURA 14.6
El gradiente direccional se defi ne a lo largo de un eje h que forma un ángulo q con el eje x.

x

x = a
y = b
h = 0

h

y

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