Page 429 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

15.1 PROGRAMACIÓN LINEAL 405

x + S = 9 (15.4c)
1 3
x + S = 6 (15.4d)
2 4
x , x , S , S , S , S > 0
1 2 1 2 3 4
Advierta cómo se han establecido las cuatro ecuaciones, de manera que las incóg-
nitas quedan alineadas en columnas. Se hizo así para resaltar que ahora se trata de un
sistema de ecuaciones algebraicas lineales (recuerde la parte tres). En la siguiente sección
se mostrará cómo se emplean dichas ecuaciones para determinar los puntos extremos
en forma algebraica.

Solución algebraica. A diferencia de la parte tres, donde se tenían n ecuaciones con
n incógnitas, nuestro sistema del ejemplo [ecuaciones (15.4)] está subespecificado; es
decir, tiene más incógnitas que ecuaciones. En términos generales, hay n variables es-
tructurales (las incógnitas originales), m variables de holgura o excedentes (una por
restricción), y n + m variables en total (estructurales más excedentes). En el problema
de la producción de gas se tienen 2 variables estructurales, 4 variables de holgura y 6
variables en total. Así, el problema consiste en resolver 4 ecuaciones con 6 incógnitas.
La diferencia entre el número de incógnitas y el de ecuaciones (igual a 2 en nuestro
problema) está directamente relacionada con la forma en que se distingue un punto
extremo factible. Específicamente, cada punto factible tiene 2 de las 6 variables iguala-
das a cero. Por ejemplo, los cinco puntos en las esquinas del área ABCDE tienen los
siguientes valores cero:

Punto extremo Variables cero
A x , x
1 2
B x , S
2 2
C S , S
1 2
D S , S
1 4
E x , S
1 4
Esta observación nos lleva a concluir que los puntos extremos se determinan a
partir de la forma estándar igualando dos de las variables a cero. En nuestro ejemplo,
esto reduce el problema a resolver 4 ecuaciones con 4 incógnitas. Por ejemplo, para el
punto E, si x = S = 0, la forma estándar se reduce a
1 4
11x + S = 77
2 1
8x + S = 80
2 2
+ S = 9
3
x = 6
2
de donde se obtiene x = 6, S = 11, S = 32 y S = 9. Junto con x = S = 0, estos valores
2 1 2 3 1 4
definen el punto E.
Generalizando, una solución básica de m ecuaciones lineales con n incógnitas se
obtiene al igualar a cero las variables n – m y resolver las m ecuaciones para las m in-
cógnitas restantes. Las variables igualadas a cero se conocen formalmente como varia-
bles no básicas; mientras que a las m variables restantes se les llama variables básicas.

6/12/06 13:56:01
Chapra-15.indd 405
Chapra-15.indd 405 6/12/06 13:56:01