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406 OPTIMIZACIÓN RESTRINGIDA

Si todas las variables básicas son no negativas, al resultado se le llama una solución
factible básica. El óptimo será una de éstas.
Ahora, un procedimiento directo para determinar la solución óptima será calcular
todas las soluciones básicas, determinar cuáles de ellas son factibles, y de éstas, cuál
tiene el valor mayor de Z. Sin embargo, éste no es un procedimiento recomendable por
dos razones.
Primero, aun para problemas de tamaños moderado, se necesita resolver una gran
cantidad de ecuaciones. Para m ecuaciones con n incógnitas, se tendrán que resolver
n!
n
C =
m mn m!( − )!
ecuaciones simultáneas. Por ejemplo, si hay 10 ecuaciones (m = 10) con 16 incógnitas
(n = 16), ¡se tendrían 8 008 [= 16!/(10!6!)] sistemas de ecuaciones de 10 × 10 para re-
solver!
Segundo, quizás una porción significativa de éstas no sea factible. Por ejemplo, en
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el problema actual de los C = 15 puntos extremos, sólo 5 son factibles. Claramente, si
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se pudiese evitar resolver todos estos sistemas innecesarios, se tendría un algoritmo más
eficiente. Uno de estos procedimientos se describe a continuación.
Implementación del método simplex. El método simplex evita las ineficiencias
descritas en la sección anterior. Esto se hace al comenzar con una solución factible bá-
sica. Luego se mueve a través de una secuencia de otras soluciones factibles básicas que
mejoran sucesivamente el valor de la función objetivo. En forma eventual, se alcanza el
valor óptimo y se termina el método.
Se ilustrará el procedimiento con el problema de procesamiento de gas, de los
ejemplos 15.1 y 15.2. El primer paso consiste en empezar en una solución factible bási-
ca (es decir, en un punto esquina extremo del espacio factible). Para casos como los
nuestros, un punto de inicio obvio podría ser el punto A; esto es, x = x = 0. Las 6 ecua-
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ciones originales en 4 incógnitas se convierten en
S = 77
1
S = 80
2
S = 9
3
S = 6
4
Así, los valores iniciales de las variables básicas se dan automáticamente siendo iguales
a los lados derecho de las restricciones.
Antes de proceder al siguiente paso, la información inicial se puede resumir en
un adecuado formato tabular. Como se muestra a continuación, la tabla proporciona un
resumen de la información clave que constituye el problema de la programación lineal.

Básica Z x x S S S S Solución Intersección
1 2 1 2 3 4
Z 1 –150 –175 0 0 0 0 0
S 0 7 11 1 0 0 0 77 11
1
S 0 10 8 0 1 0 0 80 8
2
S 0 1 0 0 0 1 0 9 9
3
S 0 0 1 0 0 0 1 6 ∞
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