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544 APROXIMACIÓN DE FOURIER

que es sólo otro ejemplo del modelo general [recuerde la ecuación (17.23)]
y = a z + a z + a z + … + a z + e (17.23)
2 2
0 0
m m
1 1
donde z = 1, z = cos(w t), z = sen(w t) y todas las otras z = 0. Así, nuestro objetivo es
0
1
0
2
0
determinar los valores de los coeficientes que minimicen la función
r ∑
S = N { y −[ A + A cos(ω 0 t +) B sen (ω 0 t })] 2
i
i
1
0
i
1
i=1
Las ecuaciones normales para lograr esta minimización se expresan en forma de matri-
cial como [recuerde la ecuación (17.25)]
⎡ N ∑cos(ω 0 t) ∑sen (ω 0 t) ⎤ ⎧ A ⎫
0
⎢ 2 ⎥ ⎪ ⎪
A ⎬
⎢ ∑cos(ω 0 t) ∑cos (ω 0 t) ∑cos(ω 0 t) sen (ω 0 t) ⎥ ⎨ 1
⎪
⎢ ⎣ ∑sen (ω 0 t) ∑cos(ω 0 t) sen (ω 0 t) ∑sen 2 (ω 0 t) ⎥ ⎦ ⎩ 1 ⎪
B
⎭
⎧ ∑ y ⎫
⎪
⎪
= ∑ ycos(ω 0 t) ⎬ (19.12)
⎨
⎪ ⎪ ∑ (ω ⎪
⎩ y sen 0 ⎭
t)
Estas ecuaciones sirven para encontrar los coeficientes desconocidos. Aunque, en
lugar de hacer esto, se examina el caso especial donde hay N observaciones espaciadas
de manera uniforme a intervalos ∆t y con una longitud total T = (N – 1)∆t. En esta situa-
ción, se determinan los siguientes valores promedio (véase el problema 19.3):
∑sen(ω t ) ∑cos(ω t )
0
0
= 0 = 0
N N
2
2
∑sen (ω t ) 1 ∑cos (ω t ) 1
0 = 0 =
N 2 N 2 (19.13)
∑cos(ω t ) sen(ω t )
0 0 = 0
N
Así, para los puntos igualmente espaciados, las ecuaciones normales se convierten en
⎡ N 0 0 ⎤ ⎧ A ⎫ ⎧ ∑ y ⎫
0
⎪
⎪
⎢ ⎥ ⎪ A ⎬ = ∑ ycos(ω t) ⎬ ⎪
⎢ 0 N 2/ 0 ⎥ ⎨ 1 ⎨ 0
⎪
⎪
⎢ ⎣ 0 0 N 2/ ⎥ ⎦ ⎩ B 1 ⎭ ⎪ ∑ y sen (ω 0 ⎭ ⎪
⎩
t)
La inversa de una matriz diagonal es simplemente otra matriz diagonal, cuyos elementos
son los recíprocos de la matriz original. Así, los coeficientes se determinan como
⎧ A ⎫ 1 ⎡ / N 0 0 ⎤ ⎧ ∑ y ⎫
⎪ 0 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎨ A ⎬ = ⎢ 0 2/ N 0 ⎥ ⎨ ∑ ycos(ω 0 t ⎬ )
1
⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪
t)
⎦ ⎩
⎩ B 1 ⎭ ⎣ 0 0 2/ N⎥ ∑ y sen (ω 0 ⎭
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