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652 INTEGRACIÓN DE ECUACIONES

EJEMPLO 22.1 Correcciones del error en la regla del trapecio

Planteamiento del problema. En el capítulo anterior (ejemplo 21.1 y tabla 21.1) em-
pleamos varios métodos de integración numérica para evaluar la integral de f(x) = 0.2 +
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5
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25x – 200x + 675x – 900x + 400x desde a = 0 hasta b = 0.8. Por ejemplo, las aplica-
ciones simples y múltiples de la regla del trapecio dieron los siguientes resultados:
Segmentos h Integral e t %
1 0.8 0.1728 89.5
2 0.4 1.0688 34.9
4 0.2 1.4848 9.5

Use esta información junto con la ecuación (22.5) para calcular mejores estimaciones
de la integral.

Solución. Si se combinan las estimaciones con uno y dos segmentos resulta:
4 1
I ≅ (. − ( 0 1728. ) = 1 367467.
1 0688)
3 3
El error de la integral mejorada es E = 1.640533 – 1.367467 = 0.273067 (e = 16.6%),
t
t
que es mejor al de las estimaciones sobre las que se basó.
De la misma manera, las estimaciones con dos y cuatro segmentos se combinan
para obtener
4 1
I ≅ (. − (. = 1 623467.
1 4848)
1 0688)
3 3
que representa un error E = 1.640533 – 1.623467 = 0.017067 (e = 1.0%).
t
t
La ecuación (22.4) proporciona una forma de combinar dos aplicaciones de la regla
2
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del trapecio con un error O(h ), para calcular una tercera estimación con un error O(h ).
Este procedimiento es un subconjunto de un método más general para combinar inte-
grales y obtener mejores estimaciones. Así, en el ejemplo 22.1, calculamos dos integra-
4
les mejoradas de O(h ) con base en tres estimaciones con la regla del trapecio. Estos dos
cálculos mejorados pueden, a su vez, combinarse para generar un valor aún mejor con
6
O(h ). En el caso especial donde las estimaciones originales con la regla del trapecio se
basan en la división sucesiva de la mitad del tamaño de paso, la ecuación usada para una
6
exactitud O(h ) es
I ≅ 16 I − 1 I (22.6)
15 m 15 l
donde I e I son las estimaciones mayor y menor, respectivamente. De manera similar,
m
l
6
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dos resultados O(h ) se combinan para calcular una integral que es O(h ) utilizando
I ≅ 64 I − 1 I (22.7)
63 m 63 l

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