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22.2 INTEGRACIÓN DE ROMBERG 651
-
Si se supone que f ″ es constante para todo tamaño de paso, la ecuación 22.2 se utiliza
para determinar la razón entre los dos errores, que será
Eh() h 2 1
1 ≅
Eh() h 2 (22.3)
2 2
-
Este cálculo tiene el importante efecto de eliminar el término f ″ de los cálculos. Al
hacerlo, fue posible utilizar la información contenida en la ecuación (22.2) sin un cono-
cimiento previo de la segunda derivada de la función. Para lograr esto, se reordena la
ecuación (22.3) para dar

⎛ h ⎞ 2
Eh() ≅ Eh( ) 1 ⎟
2 ⎜
⎝ h ⎠
1
2
que se puede sustituir en la ecuación (22.1):
⎛ h ⎞ 2
Ih( ) + E h() 1 ⎟ ≅ Ih() + E h()
2 ⎜
1
⎝ h ⎠ 2 2
2
de donde se despeja
Ih() − Ih( )
Eh() ≅ 1 2 2
1−
2
hh )
(/
1 2
Así, hemos desarrollado un estimado del error de truncamiento en términos de las estima-
ciones de la integral y de sus tamaños de paso. La estimación se sustituye después en
I = I(h ) + E(h )
2
2
para obtener una mejor estimación de la integral:

1
I ≅ I h +() [( Ih( )] (22.4)
Ih −)
2
hh )
(/ 2 −1 2 1
1 2
Se puede demostrar (Ralston y Rabinowitz, 1978) que el error de esta estimación es
4
2
O(h ). Así, hemos combinado dos estimaciones con la regla del trapecio de O(h ) para
4
obtener una nueva estimación de O(h ). En el caso especial donde el intervalo es divi-
dido a la mitad (h = h /2), esta ecuación se convierte en
1
2
1
I ≅ I h +() [ I h −() I h( )]
2
2 2 −1 2 1
o, agrupando términos,
4 1
I ≅ I h −() I h( ) (22.5)
3 2 3 1

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