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22.2 INTEGRACIÓN DE ROMBERG 653

EJEMPLO 22.2 Corrección del error de orden superior en estimaciones de la integral

Planteamiento del problema. En el ejemplo 22.1 usamos la extrapolación de Richar-
4
dson para calcular dos estimaciones de la integral de O(h ). Utilice la ecuación (22.6)
6
para combinar esas estimaciones y calcular una integral con O(h ).
4
Solución. Las dos estimaciones de la integral de O(h ) obtenidas en el ejemplo 22.1
fueron 1.367467 y 1.623467. Se sustituyen tales valores en la ecuación (22.6) y se obtiene
16 1
I = (. − (. = 1 640533.
1 367467)
1 623467)
15 15
que es el resultado correcto hasta siete cifras significativas que se utilizaron en este
ejemplo.

22.2.2 El algoritmo de integración de Romberg

Observe que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de extrapolación [ecuaciones
(22.5), (22.6) y (22.7)] suman 1. De esta manera, representan factores de ponderación
que, conforme aumenta la exactitud, dan un peso relativamente mayor a la mejor esti-
mación de la integral. Estas formulaciones se expresan en una forma general muy ade-
cuada para la implementación en computadora:

4 k−1 I − I
k , −1
I jk, ≅ j+1 k−1 j k, −1 (22.8)
4 −1
donde I j+1,k–1 e I j,k–1 = las integrales más y menos exactas, respectivamente; e I = la in-
j,k
tegral mejorada. El subíndice k significa el nivel de la integración, donde k = 1 corres-
4
ponde a la estimación original con la regla del trapecio, k = 2 corresponde a O(h ), k =
6
3 a O(h ), y así sucesivamente. El subíndice j se usa para distinguir entre las estimacio-
nes más (j + 1) y menos (j) exactas. Por ejemplo, con k = 2 y j = 1, la ecuación (22.8) se
convierte en
I 4 21, − I 11,
I ≅
12,
3
que es equivalente a la ecuación (22.5).
La forma general representada por la ecuación (22.8) se atribuye a Romberg, y su
aplicación sistemática para evaluar integrales se denomina integración de Romberg. La
figura 22.3 es una representación gráfica de la sucesión de estimaciones de la integral
generadas usando este procedimiento. Cada matriz corresponde a una sola iteración. La
primera columna contiene las evaluaciones de la regla del trapecio, designadas por I ,
j,1
donde j = 1 indica una aplicación con un solo segmento (el tamaño de paso es b – a), j
= 2 corresponde a una aplicación con dos segmentos [el tamaño de paso es (b – a)/2], j = 3
corresponde a una aplicación de cuatro segmentos [el tamaño de paso es (b – a)/4], y así
sucesivamente. Las otras columnas de la matriz se generan mediante la aplicación sis-
temática de la ecuación (22.8) para obtener sucesivamente mejores estimaciones de la
integral.

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