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654 INTEGRACIÓN DE ECUACIONES

4
2
6
8
O (h ) O (h ) O (h ) O (h )
a) 0.172800 1.367467
1.068800
FIGURA 22.3
Representación gráfi ca de la b) 0.172800 1.367467 1.640533
sucesión de estimaciones de 1.068800 1.623467
la integral generadas usando 1.484800
la integración de Romberg. c) 0.172800 1.367467 1.640533 1.640533
a) Primera ite ración. b) 1.068800 1.623467 1.640533
Segunda iteración. 1.484800 1.639467
c) Tercera iteración. 1.600800

Por ejemplo, la primera iteración (figura 22.3a) consiste en calcular las estimaciones
con la regla del trapecio para uno y dos segmentos (I , e I ). La ecuación (22.8) se
1,1
2,1
4
utiliza después para calcular el elemento I = 1.367467, el cual tiene un error de O(h ).
1,2
Ahora, debemos verificar y establecer si este resultado es adecuado a nuestras ne-
cesidades. Como en los otros métodos aproximados de este libro, se requiere un criterio
de paro, o de terminación, para evaluar la exactitud de los resultados. Un método que es
útil para el propósito actual es [ecuación (3.5)]
I − I
ε = 1, k 1, k−1 100% (22.9)
a
I 1, k
donde ε = una estimación del error relativo porcentual. De esta manera, como sucedió
a
en los anteriores procesos iterativos, se compara la nueva estimación con un valor ante-
rior. Cuando la diferencia entre los valores anteriores y nuevos representada por ε está
a
por debajo de un criterio de error preespecificado ε , termina el cálculo. En la figura
s
22.3a, esta evaluación indica 87.4% de cambio con respecto a la primera iteración.
6
El objetivo de la segunda iteración (figura 22.3b) es obtener la estimación O(h ),
I . Para hacerlo, se determina una estimación más con la regla del trapecio, I = 1.4848.
1,3
3,1
Después, ésta se combina con I usando la ecuación (22.8) para generar I = 1.623467.
2,1
2,2
El resultado se combina, a su vez, con I para obtener I = 1.640533. Se aplica la ecua-
1,2
1,3
ción (22.9) para determinar que este resultado representa un cambio del 22.6% cuando
se compara con el resultado previo, I 1,2
La tercera iteración (figura 22.3c) continúa con el proceso de la misma forma. En
tal caso, la estimación del trapecio se suma a la primera columna y, después, se aplica
la ecuación (22.8) para calcular en forma sucesiva integrales más exactas a lo largo de
la diagonal inferior. Después de sólo tres iteraciones, debido a que se evalúa un polino-
mio de quinto grado, el resultado (I = 1.640533) es exacto.
1,4
La integración de Romberg es más eficiente que las reglas del trapecio y de Simpson
analizadas en el capítulo 21. Por ejemplo, para la determinación de una integral como
la de la figura 22.1, la regla de Simpson 1/3 requeriría una aplicación con 256 segmentos
para dar un estimado de 1.640533. Aproximaciones más finas no serán posibles debido
al error de redondeo. En cambio, la integración de Romberg ofrece un resultado exacto
(a siete cifras significativas) basada en la combinación de aplicaciones de la regla del

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