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22.3 CUADRATURA DE GAUSS 655

trapecio con uno, dos, cuatro y ocho segmentos; es decir, ¡con sólo 15 evaluaciones de
la función!
La figura 22.4 representa el seudocódigo para la integración de Romberg. Mediante
el uso de ciclos, este algoritmo implementa el método en una forma eficiente. La integra-
ción de Romberg está diseñada para casos en donde se conoce la función que se va a inte-
grar. Esto se debe a que el conocimiento de la función permite las evaluaciones requeridas
para la implementación inicial de la regla del trapecio. Los datos tabulados rara vez están
en la forma requerida para dividirlos a la mitad sucesivamente como se requiere.

22.3 CUADRATURA DE GAUSS

En el capítulo 21 estudiamos fórmulas de integración numérica o cuadratura conocidas
como ecuaciones de Newton-Cotes. Una característica de estas fórmulas (con excepción
del caso especial de la sección 21.3) fue que la estimación de la integral se basó en va-
lores igualmente espaciados de la función. En consecuencia, la localización de los
puntos que se usaron en estas ecuaciones eran predeterminados o fijos.
Por ejemplo, como se describe en la figura 22.5a, la regla del trapecio se basa en
obtener el área bajo la línea recta que une los valores de la función, en los extremos del
intervalo de integración. La fórmula que se utiliza para calcular esta área es

fa +() f b( )
I ≅ (– (22.10)
b a)
2
donde a y b son los límites de integración y b – a = el ancho del intervalo de integración.
Debido a que la regla del trapecio necesita los puntos extremos, existen casos como el
de la figura 22.5a, donde la fórmula puede dar un gran error.
Ahora, suponga que se elimina la restricción de los puntos fijos y se tuviera la li-
bertad de evaluar el área bajo una línea recta que uniera dos puntos cualesquiera de la

FIGURA 22.4 FUNCTION Romberg (a, b, maxit, es)
Seudocódigo para la LOCAL I(10, 10)
integración de Romberg, n = 1
que usa la versión de I 1,1 = TrapEq(n, a, b)
segmentos del mismo iter = 0
tamaño de la regla del DOFOR
trapecio, a partir de la iter = iter + 1
fi gura 22.1. n = 2 iter
l iter+1,1 = TrapEq(n, a, b)
DOFOR k = 2, iter + 1
j = 2 + iter – k
I j,k = (4 k–1 * I j+1,k–1 – I j,k-1 )/(4 k–1 – 1)
END DO
ea = ABS((I 1,iter+1 – I 2,iter )/I 1,iter+1 ) * 100
IF (iter ≥ maxit OR ea ≤ es) EXIT
END DO
Romberg = I 1,iter+1
END Romberg

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