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22.3 CUADRATURA DE GAUSS 659

una función lineal. Después, para tener las otras dos condiciones, sólo se ampliará este
razonamiento al suponer que también ajusta la integral de una función parabólica (y =
3
2
x ) y de una cúbica (y = x ). Al hacerlo, se determinan las cuatro incógnitas y además
se obtiene una fórmula de integración lineal de dos puntos que es exacta para cúbicas.
Las cuatro ecuaciones que habrá que resolver son:

1
cf x () + c f x ( ) = ∫ 1 dx = 2
0 0 1 1 − 1 (22.13)
cf x () + c f x ( ) = ∫ − 1 1 x dx = 0 (22.14)
0
0
1
1
cf x () + c f x ( ) = ∫ 1 x dx = 2
2
0 0 1 1 − 1 3 (22.15)
cf x () + c f x ( ) = ∫ 1 x dx = 0
3
0 0 1 1 − 1 (22.16)
Las ecuaciones (22.13) a (22.16) pueden resolverse simultáneamente para encontrar
c = c = 1
0 1
1
x =− =− 0 5773503. …
0
3
x = 1 = 0 5773503. …
1
3
que se sustituye en la ecuación (22.12) para obtener la fórmula de Gauss-Legendre de
dos puntos

⎛ –1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
I ≅ ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ (22.17)
f
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠

Así, llegamos al interesante resultado de que la simple suma de los valores de la función
en x = 1/ 3 y –1/ 3 genera una estimación de la integral que tiene una exactitud de
tercer grado.
Observe que los límites de integración en las ecuaciones (22.13) a (22.16) son desde
–1 a 1. Esto se hizo para simplificar la matemática y para hacer la formulación tan gene-
ral como sea posible. Es posible utilizar un simple cambio de variable para transformar
otros límites de integración a esta forma. Esto se realiza suponiendo que una nueva va-
riable x está relacionada con la variable original x en una forma lineal, como sigue
d
x = a + a x (22.18)
0
1 d
Si el límite inferior, x = a, corresponde a x = –1, estos valores se sustituyen en la ecua-
d
ción (22.18):
a = a + a (–1) (22.19)
0
1
De manera similar, el límite superior, x = b, corresponde a x = 1, para tener
d
b = a + a (1) (22.20)
1
0

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