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660 INTEGRACIÓN DE ECUACIONES

Las ecuaciones (22.19) y (22.20) podrán resolverse simultáneamente para obtener

+
ba
a = (22.21)
0
2
y
−
ba
a = (22.22)
1
2
que se sustituye en la ecuación (22.18) con el siguiente resultado:
+
( ba+ ) ( ba x− )
x = d (22.23)
2
Esta ecuación se diferencia para dar
ba−
dx = dx (22.24)
2 d
Las ecuaciones (22.23) y (22.24) pueden sustituirse ahora por x y dx, respectivamente,
en la ecuación que se habrá de integrar. Tales sustituciones efectivamente transforman
el intervalo de integración sin cambiar el valor de la integral. El siguiente ejemplo ilus-
tra cómo se hace esto en la práctica.
EJEMPLO 22.3 Fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos

Planteamiento del problema. Con la ecuación (22.17) evalúe la integral de
3
4
2
f(x) = 0.2 + 25x – 200x + 675x – 900x + 400x 5
entre los límites x = 0 y x = 0.8. Recuerde que éste fue el problema que resolvimos en el
capítulo 21, con las fórmulas de Newton-Cotes. El valor exacto de la integral es
1.640533.

Solución. Antes de integrar la función, debemos realizar un cambio de variable para
que los límites sean de –1 a +1. Para ello, sustituimos a = 0 y b = 0.8 en la ecuación
(22.23) para obtener
x = 0.4 + 0.4x d
La derivada de esta relación es [ecuación (22.24)]

dx = 0.4dx d
Ambas ecuaciones se sustituyen en la ecuación original para dar

∫ 0 08 . (. x − 200x 2 + 675x 3 − 900x 4 + 400x 5 ) dx
0 2 25+

= ∫ 1 [ 02 25 04 04. + (. + . x d ) − 200 04 04(. + . x d ) + 675 04 04(. + . x d ) 3
2
– 1
− 900 04 04(. + . x d ) + 400 04 04(. + . x d ) ] 04. dx d
5
4

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