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664 INTEGRACIÓN DE ECUACIONES

n–2
∫ x n f x dx() = h⎢ ⎡ 3 f x( ) + ∑ f x( ) + 3 f x( n−1 )⎥ ⎤
1
i
x 0 ⎣ ⎢ 2 i=2 2 ⎦ ⎥
Además, es posible desarrollar fórmulas semiabiertas para casos donde uno u otro
extremo del intervalo es cerrado. Por ejemplo, una fórmula que es abierta en el límite
inferior y cerrada en el superior está dada como sigue:

n–1
∫ x n f x dx() = h⎢ ⎡ 3 f x( ) + ∑ f x( ) + 1 f x( )⎥ ⎤
n
i
1
x 0 ⎣ ⎢ 2 i=2 2 ⎦ ⎥
Aunque se pueden usar estas relaciones, una fórmula preferida es (Press y colaboradores,
1992)

∫ x n f x dx( ) = h f x[ ( / 1 2 ) + f x( / 32 ) + + f x( n−32 ) + f x( n−1 /2 )] (22.29)
/
x 0

que se conoce como la regla extendida del punto medio. Observe que esta fórmula se
basa en límites de integración que están h/2 después y antes del primer y del último dato
respectivamente (figura 22.8).

EJEMPLO 22.6 Evaluación de una integral impropia

Planteamiento del problema. La distribución normal acumulativa es una fórmula
importante en estadística (figura 22.9):

1
x
2
Nx() = ∫ –∞ 2π e − x /2 dx (E22.6.1)
–
donde x = (y – y)/s se llama la desviación estándar normalizada, la cual representa un
y
cambio de variable para escalar la distribución normal, de tal forma que esté centrada
en cero y la distancia a lo largo de la abscisa se mida en múltiplos de la desviación es-
tándar (figura 22.9b).
La ecuación (E22.6.1) representa la probabilidad de que un evento sea menor que
x. Por ejemplo, si x = 1, la ecuación (E22.6.1) se utiliza para determinar la probabilidad
de que ocurra un evento que es menor que una desviación estándar por arriba de la
media, es decir N(1) = 0.8413. En otras palabras, si ocurren 100 eventos, aproximada-
mente 84 serán menores que la media más una desviación estándar. Como la ecuación
(E22.6.1) no puede evaluarse de una manera funcional simple, se resuelve numéricamen-

FIGURA 22.8
Colocación de datos para x x x x x x
los límites de integración en 1/2 3/2 5/2 n – 5/2 n – 3/2 n – 1/2
la regla extendida del punto x x
medio. 0 n

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