Page 686 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

662 INTEGRACIÓN DE ECUACIONES

EJEMPLO 22.4 Fórmula de Gauss-Legendre de tres puntos

Planteamiento de problema. Use la fórmula de tres puntos con la tabla 22.1 para
estimar la integral de la misma función que en el ejemplo 22.3.

Solución. De acuerdo con la tabla 22.1, la fórmula de tres puntos es
I = 0.5555556f(–0.7745967) + 0.8888889f(0) + 0.5555556f(0.7745967)
que es igual a
I = 0.2813013 + 0.8732444 + 0.4859876 = 1.640533

que es exacta.

Como la cuadratura de Gauss requiere evaluaciones de la función en puntos irregu-
larmente espaciados dentro del intervalo de integración, no es apropiada para los casos
donde la función no se conoce. Es decir, para problemas que tratan con datos tabulados,
será necesario interpolar para el argumento dado. Sin embargo, cuando se conoce la
función, su eficiencia es de una ventaja decisiva, en particular cuando se deben realizar
muchas evaluaciones de la integral.

EJEMPLO 22.5 Aplicación de la cuadratura de Gauss al problema del paracaidista en caída
Planteamiento del problema. En el ejemplo 21.3 se usó la regla del trapecio de apli-
cación múltiple para evaluar
gm 10
d = ∫ 1 [– e −(/ ] dt
cm t)
c 0
donde g = 9.8, c = 12.5 y m = 68.1. El valor exacto de la integral se determinó por me-
dio del cálculo, igual a 289.4351. Recuerde que la mejor estimación obtenida usando la
–4
regla del trapecio con 500 segmentos fue 289.4348 con un ⏐ε⏐ ≅ 1.15 × 10 %. Repita
t
este cálculo usando la cuadratura de Gauss.
Solución. Después de modificar la función, se obtienen los siguientes resultados:
Estimación con dos puntos = 290.0145
Estimación con tres puntos = 289.4393
Estimación con cuatro puntos = 289.4352
Estimación con cinco puntos = 289.4351
Estimación con seis puntos = 289.4351
Así, las estimaciones con cinco y seis puntos dan resultados que son exactos hasta la
séptima cifra significativa.

22.3.4 Análisis del error en la cuadratura de Gauss

El error en las fórmulas de Gauss-Legendre por lo general se especifica mediante (Car-
nahan y colaboradores, 1969)

2 2 n+3 [( n +1)!] 4
E = f 2 ( n+2) () ξ (22.26)
t
2 ( n + 3 2)[( n + 2)!] 3

6/12/06 14:00:21
Chapra-22.indd 662 6/12/06 14:00:21
Chapra-22.indd 662